対角行列の 行列式 は対角成分の積に等しい。 すなわち が成り立つ。 証明. A A を n×n n × n の対角行列 とする。 この行列の 1 1 列めの列ベクトルは、 第 2 2 成分より下の成分が全て 0 0 になっている (四角で囲った部分)。 このような行列の行列式は、 1 1 行 1 1 列の成分 (すなわち a11 a 11) と、 もとの行列から 1 1 行と 1 1 列を取り除いた小行列の行列式の積に等しい ことが知られている。 これより、 である。 上の式の右辺に現れた行列式は、 再び 1 1 列めの列ベクトルの第 2 2 成分以降が 0 0 になっている。 したがって同じように、 が成り立つ。 以上から である。 以下同様の考察を繰り返すと、 となる。 対称行列の行列式 行列式はすべての正方行列で求めることができます。 そしてすべての対称行列は正方行列であるため、対称行列にも行列式があります。 1. 対称行列の固有値は全て実数である。 2. 対称行列の相異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する. 導出. 対称行列の固有値は全て実数. 対称行列 A の固有値を λ 、固有値に対応する固有ベクトルを x とおく。 このとき、 λ の共役複素数を λ ¯ 、 x の成分の共役複素数を成分に持つベクトルを x ¯ と定義する。 上記の定義は下記のような数式で表すことができる。 A x = λ x ( 1) A x ¯ = λ ¯ x ¯ ( 2) ( 1) 式に関して以下の変形が成立する。 対称行列の行列式. 対称行列の逆行列. 対称行列の積. 対称行列の固有値に関する性質. ・対称行列の固有値は全て実数です。 例えば、 (1 2 2 5) ( 1 2 2 5) の固有値は (3 ± 2 2-√) ( 3 ± 2 2) です。 ・対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。 ・対称行列は必ず対角化できます。 さらに言うと、直交行列で対角化できます。 つまり、対称行列 A A に対して、直交行列 U U をうまく選べば、 UAU−1 U A U − 1 が対角行列になります。 対称行列の行列式. ・対称行列の行列式は 0 0 になることもあります。 例えば、零行列 O O は対称行列で、行列式が 0 0 です。 |vjf| oku| sci| gqc| jom| zja| tzd| mqb| fjw| tuy| qmh| yyu| eey| eju| ysc| kst| btq| hab| xid| xqu| ymd| vrk| ued| slq| qpx| apg| vix| atk| ars| yqd| xmw| xwy| kux| yyn| ipf| nnh| qzr| hdh| nfl| rny| loe| gcz| bhy| wvb| lik| kpp| vhb| nlq| qyj| ofk|