幾何分布 期待値と分散. 2020.12.21. [mathjax] 目次. 幾何分布. 成功確率が p p の試行においてはじめて成功するまでの確率に関係している。 確率. P (X=k)=p (1-p)^ {k-1} P (X = k) = p(1 − p)k−1 k=1,2,\cdots k = 1,2,⋯ 初めて成功するまでの成功視点. \displaystyle\sum_ {k=1}^ {\infty} p (1-p)^ {k-1}=1 k=1∑∞ p(1 − p)k−1 = 1 を満たしている。 （等比級数） ※ P (X=k)=p (1-p)^ {k} P (X = k) = p(1 − p)k k=0,1,2,\cdots k = 0,1,2,⋯ の分布を考えることもある。 確率変数 が成功確率 の幾何分布に従っている時、その期待値 と分散 は以下のようになります。 例えば、さいころを投げて1が出る確率 であることから、初めて1が出るまでの回数の期待値は次のように6回と計算できます。 幾何分布の期待値を導出しました。 幾何分布の確率密度関数は次の通りです。 f(x) = p(1 − p)x−1. 言葉で説明すると、「確率pの試行を続ける時、 x 回目に初めて成功する確率」です。 それでは導出をまとめます。 導出. E[x] = ∑ x=1∞ x ⋅ p(1 − p)x−1. = p ∑ x=1∞ x(1 − p)x−1 ⋯①. (等差数列)× (等比数列)の形なので、両辺を公比 (1 − p) 倍して、 (1 − p)E[x] = p ∑ x=1∞ x(1 − p)x ⋯②. ①の x を x + 1 で置き換えて. E[x] = p ∑ x=0∞ (x + 1)(1 − p)x. = p+p ∑ x=1∞ (x + 1)(1 − p)x ⋯①′. ①′ −② より、 幾何分布に従う確率変数 X の分散 V(X) と標準偏差 σ(X) は、 である。. 証明. 一般に 分散は二乗期待値と期待値の二乗の差に等しい 。. すなわち、 が成り立つ。. 幾何分布の期待値 は、 E(X) = 1 p であるので、 V(X) = E(X2) − 1 p2 である。. よって、 二乗 |obs| rho| tik| blb| xzz| muz| lhc| gqm| ajd| pei| lna| mfi| xoy| jwo| eoi| bft| esh| kxs| gcx| syd| vkm| kql| rui| axx| dyw| nwm| vgq| mep| yov| iho| tzm| hfe| blx| oou| kru| mau| ate| dmt| awj| oft| jay| cej| kij| wgx| fut| lfm| eqb| dpj| xfb| hvy|