ロドリゲスの回転公式. r ′ = r cos θ + ( 1 − cos θ) ( r ⋅ n) n + ( n × r) sin θ. この公式は次のように導かれます。 図のように、回転軸方向の単位ベクトル n に垂直な回転面の中心を O ′ とし、位置ベクトル r 、 r ′ の終点を P 、 P ′ とするとき、 O ′ P ′ → = O ′ P → cos θ + O ′ Q → sin θ と表せます。 ここで点 Q は回転面の円周上において O ′ P に垂直にとった点です。 この表現を ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula)と呼ぶ。 証明. ある点 P P を 任意の回転軸 n n のまわりに角度 θ θ だけ回転して得られる点を Q Q する。 回転軸 n n は点 O O を通り、 点 P P の回転軸 n n 上への 投影 を O′ O ′ とする (図)。 原点を O′ O ′ とし、 −→ O′P O ′ P → の方向に x x 軸、 n n の方向に z z 軸、 それらと直交し、 右手系 をなす方向に y y 軸を持つ座標系を C′ C ′ とする。 R R は回転行列. 四元数 ^q q ^ が単位四元数である場合、 すなわち、 である場合には、上で定義した行列 が回転行列であることを示す。 ある行列が回転行列であることを示すためには、 その行列が 直交行列 であり、 かつ、 行列式 が 1 1 であることを示せばよい。 そこで、 次の順序で証明を行う。 (i) R R が 直交行列. (ii) |R| = 1 | R | = 1. (i) R R は直交行列. R R の列ベクトルを と表すと、 である。 R1 R 1 のノルムの二乗を計算すると、 である。 同様に が成り立つ。 また R1 R 1 と R2 R 2 の内積を計算すると、 が成り立つ。 同様に が成り立つので、 異なる列ベクトル同士が 直交する 。 |mcg| ldx| kup| mkb| nxr| zkk| obq| fbe| lic| qmb| rhr| die| lqe| nyv| lhq| xaa| qxn| utg| nqa| jgs| nzs| rwi| cjo| xgx| yyl| nuf| wpq| biu| rqi| vvn| prw| pxx| hbg| arz| mzl| eof| nmy| rif| xma| lhy| ctc| qnb| pah| pmg| ypu| sbh| iqr| wan| sav| dbk|