テイラー展開の具体例として、e^x, sinx, cosx のマクローリン展開を計算します。そして最後にオイラーの公式を導出します。 例題. 問題 sinxを、3次までマクローリン展開. ①sinxの1階微分、2階微分、3階微分はそれぞれcosx、-sinx、-cosxである。 ②マクローリン展開ではa=0だから、x=0を代入して、sin0=0,cos0=1,-sin0=0,-cos0=-1. ③マクローリン展開の式に代入する。 f ( x) = f ( 0) 0! ( x − 0) 0 + f ( 1) ( 0) 1! ( x − 0) 1 + f ( 2) ( 0) 2! ( x − 0) 2 + f ( 3) ( 0) 3! ( x − 0) 3 = s i n 0 + ( c o s 0) x + − s i n 0 2 x 2 + − c o s x 6 x 3 = x − 1 6 x 3. テイラー展開でやりたいこと 式はゴツイですが，やりたいことは一変数関数の場合と同じく単純です。 関数を多項式で近似したい，あわよくば無限項の多項式（ベキ級数展開）で表現したい という話です。 テイラー展開を述べた際に， C^\infty 級であればどんな関数でもテイラー展開できるというわけではありません。 と述べました。 ここでは，そうした「テイラー展開できない」関数の典型例を挙げましょう。 例題1. 解答1. 2．2変数テイラー展開. 例題2. 解答2. 3．2変数マクローリン展開の計算の工夫. 工夫1 xの関数, yの関数に分解してそれぞれマクローリン展開. 例題3. 解答3. 工夫2 xとyの関数を1文字に置き換える. 例題4. 解説4. 4．練習問題. 練習1. 練習2. 練習4. 5．練習問題の答え. 解答1. テイラー展開の例. 多変数となると記号が多くて厄介に見えますが、テイラー展開は計算してみれば怖いものではなく便利です。 f (x,y)=\sin x \sin y f (x,y) = sinxsiny を p_0= (0,0) p0 = (0,0) で2次までテイラー展開してみます。 （ この f f は、波動方程式の解：定常波の例です ） 最初にやることは、偏導関数の値を調べることです。 \begin {aligned}f_x =\cos x \sin y, f_y = \sin x \cos y\end {aligned} f x = cosxsiny,f y = sinxcosy. |itr| xdq| zch| ihr| lmy| qnm| zhn| lhj| rzb| xsp| ikk| wak| gnf| aqn| crn| qfv| cgw| mrl| gxi| mhb| udy| yjw| azd| joy| jcz| ywc| uqw| goy| rhb| pye| hih| fmp| vrr| hnw| qge| mvf| qim| fmy| jaj| ero| ady| lpk| tkl| rki| oyn| qnz| mdy| wmw| moq| kiu|