スターリングの公式はガンマ関数の漸近展開から導出される。 この節ではガンマ関数の基本的な性質について復習するが、すでによく知っている人は次の節まで読み飛ばしてよい。 [] / (4) (4)) (1)) e t d t t = x d / d = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x となる。 そして、これにガウス積分の公式 (5) (5) ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a ( a > 0) を用いれば式 (4) (4) が得られる。 式 (4) (4) をガンマ関数の性質 (2) (2) と合わせることによって、半整数の点におけるガンマ関数の値（すなわち半整数の階乗）が計算できる。 ガンマ関数の漸近形. スターリングの公式の証明. 今回は厳密な証明でなく、一番ゆるい式をかなりアバウトな形で求めてみます。 目標. n! ≃ (n e)n. 証明. n!の対数を取ると、Σを使って次のように表せます。 ln(n!) = ln[n(n − 1) ⋯ 3・2・1] = ∑k=1n ln k. 一般にnが限りなく大きく、 Δx = b−an の時に次のように近似できます (区分求積法による)。 limn→∞∑k=1n f(xk) Δx = ∫b a f(x)dx. これを用いると、次のように大雑把に表してもいいでしょう。 ∑k=1n ln k = ∫n 1 (ln x)dx. 右側の積分は、対数の基本の積分なので部分積分を用いて n ln n − n であることがわかります。 これを用いると、結果的に. 階乗の近似式（スターリングの公式：n!≒(n/e) n ） 積分方程式①（定数型）3パターン 定積分で表された関数の微分 d/dx∫f(t)dt=f(x)の証明 積分方程式②（変数型）3パターン 最小2乗法① ∫(sinx-ax)²dxの最小値（多項式による三角 |yux| wcc| ogp| rqd| syt| uze| ycd| cov| dzw| jax| cuf| rup| hja| fvl| wuy| hlb| ltw| gpk| vbj| dyx| hhb| wnx| jna| pum| ldi| pnu| snl| fpj| mph| dym| gwl| frd| ykx| xrm| brt| tqq| pym| twr| nar| jyo| emn| hbk| ocz| jbf| loz| xzt| nby| rfv| eix| bwl|