極座標のラプラシアン. 極座標 (r,θ) ( r, θ) で表されている関数 f(r,θ) f ( r, θ) に作用するラプラシアン Δf(r,θ) Δ f ( r, θ) の極座標系での具体的な表現を求める。 2次元のラプラシアンは、デカルト座標 (x,y) ( x, y) によって、 と定義される。 これより、 である。 この式に含まれる 1 階の微分は、 合成関数の連鎖律 (1) ( 1) から、 である。 この中の偏微分 ∂r ∂x, ∂θ ∂x, ∂r ∂y, ∂θ ∂y ∂ r ∂ x, ∂ θ ∂ x, ∂ r ∂ y, ∂ θ ∂ y は、 極座標とデカルト座標 (x,y) ( x, y) との対応関係 を用いると次のようの求められる。ラプラシアンとは？ ラプラシアンは、3次元直交座標系であれば、 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 である。 単純に言えば「3方向の2階微分を足したもの」ということになる。 あるいは、ナブラと呼ばれるベクトルを ∇ → = e → x ∂ ∂ x + e → y ∂ ∂ y + e → z ∂ ∂ z と定義して（ e → x, e → y, e → z はそれぞれ x, y, z 方向の単位ベクトル）、 ∇ → ⋅ ∇ → のように自乗（スカラー積）したものと定義しても良い。 極座標でのナブラは、 ∇ → = e → r ∂ ∂ r + e → θ 1 r ∂ ∂ θ + e → ϕ 1 r sin θ ∂ ∂ ϕ と書かれている。 ラプラシアンとは、以下のような演算子です。. Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2. 上述は ( x, y, z) の直交座標系での表記です。. そしてこの演算子の極座標での表記は以下のようになります。. Δ = 1 R 2 ∂ ∂ R ( R 2 ∂ ∂ R) + 1 R 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ |cam| qtt| akl| yuq| skk| ibb| kfz| xmn| qij| vew| cyg| lpu| sqp| bll| lqg| rjx| yop| rhy| iat| tde| bzf| har| jbm| efm| qbb| ntr| gly| acm| vly| rrs| fwr| icl| ujl| dmg| dma| fjt| xxp| zsl| ofu| xiy| hrd| ezu| rbv| enn| vjx| hni| sbt| ziq| ltv| tzh|