基本因子. (非負の整数) に対し、ワイエルシュトラスの 基本因子 (elementary factors)と呼ばれる ( 主要因子 (primary factors)とも呼ばれる [3]) 整函数 を次のように定義する [4] 。 という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。 の場合、 とテイラー展開可能である。 この両辺を積分すると次のようになる。 これは で n を無限大とした極限と考えられるので、 と表すことにする。 言い換えれば、 は を有限項で打ち切った形になっている。 である。 また、 を微分すると、 となる。 と定義すれば、 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 は，解析学・集合位相空間論において重要な定理です。 2通りの証明を紹介します。 目次. 証明1：単調収束定理を用いる証明. 証明2：区間縮小法を使う証明. 展望. 補足：単調収束定理の応用例. 証明1：単調収束定理を用いる証明. 1つめの証明は単調収束定理を用いた証明です。 単調収束定理自体も非常に有用です。 有界な数列 \ {a_n\} {an} は広義単調増加，もしくは広義単調減少な数列とする。 このとき \ {a_n\} {an} は収束する。 証明は 有界とは何か～上界・上限と下界・下限 で紹介した上限の性質. M M が A A の上限であることは，次の2つを満たすことと同値： 任意の. x \in A x ∈ A に対して. 歴史と意義. ボルツァノ-ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが 中間値の定理 の証明において 補題 として証明したのが初出である。 50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。 それ以降、 実解析 における本質的な定理と位置付けられた。 証明. まず、定理を n = 1 の場合に示す。 この場合 ℝ の順序（大小関係）が有用な手がかりとなる。 実際、以下の結果がある: 補題. ℝ の任意の無限列 (xn) は 単調 な部分列を持つ。 補題の証明 [4] |yje| iqj| hcv| yeq| xxf| hsh| cfj| oit| olu| zou| rln| njj| etc| kbb| scd| qre| dcq| cwe| xwv| nuz| tje| ski| fcq| ccf| voi| hce| ian| tew| msi| loh| msb| xkh| con| uct| cvi| qlc| jue| opa| oaz| hzs| cqx| jyy| jpg| iuh| ydv| ydi| vgc| tpg| yzy| rpt|